📊 통계학 원론: 자료의 기술 – 위치의 측도와 백분위수

 

통계학에서 위치의 측도는 데이터의 특정 위치를 나타내며, 백분위수는 데이터를 100개의 동등한 부분으로 나누어 각 데이터 값이 전체 데이터 집합에서 차지하는 위치를 보여줍니다. 이를 통해 데이터 분포에 대한 상세한 분석이 가능합니다.

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📌 백분위수란?

백분위수(percentile)는 데이터를 정렬한 후, 특정 비율에 해당하는 위치의 값을 의미합니다.

• 데이터는 반드시 낮은 값에서 높은 값으로 정렬되어야 합니다.
• 특정 백분위수 PkP_k는 전체 데이터 중 k% 이하에 해당하는 값을 뜻합니다.

예시:

• 25백분위수(1사분위수): 데이터의 하위 25%에 해당하는 값
• 50백분위수(2사분위수 또는 중앙값): 데이터의 하위 50%에 해당하는 값
• 75백분위수(3사분위수): 데이터의 상위 25%를 제외한 값

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🔢 백분위수 계산 방법

1. 데이터 정렬

데이터를 오름차순으로 정렬합니다.

2. 백분위수 위치 계산 공식

L = (N × k) ÷ 100

• L: 백분위수 값의 위치
• N: 데이터 개수
• k: 원하는 백분위수 (예: k = 25이면 25백분위수)

3. 위치 확인 및 값 찾기

• L이 정수라면, L번째 데이터와 그 다음 데이터의 평균값이 백분위수 값입니다.
• L이 정수가 아니라면, 소수점 이하를 올리지 않고 정수 부분에 해당하는 데이터 값을 사용합니다.

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📋 실제 사례로 이해하기

데이터 예제:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

• 데이터 개수 N = 10

1. 25백분위수 계산

L = (10 × 25) ÷ 100 = 2.5

• 위치 2.5이므로, 2번째 값(20)과 3번째 값(30)의 평균값을 계산:

25백분위수 = (20 + 30) ÷ 2 = 25

2. 75백분위수 계산

L = (10 × 75) ÷ 100 = 7.5

• 위치 7.5이므로, 7번째 값(70)과 8번째 값(80)의 평균값을 계산:

75백분위수 = (70 + 80) ÷ 2 = 75

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💡 백분위수의 활용

1. 데이터 분포 분석
   백분위수를 통해 데이터가 어떻게 퍼져 있는지 파악할 수 있습니다.
   예를 들어, 시험 점수를 25, 50, 75백분위수로 나누어 성적 분포를 분석할 수 있습니다.
2. 이상치 탐지
   하위 1%나 상위 99%에 해당하는 값은 이상치일 가능성이 높습니다.
3. 표준화와 비교
   서로 다른 데이터 집합 간의 상대적 위치를 비교할 수 있습니다.

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백분위수는 데이터의 분포와 특성을 이해하는 데 매우 유용한 도구입니다. 이를 활용하여 데이터를 더 깊이 분석하고 의사 결정을 내릴 수 있습니다! 😊